Metrischer Raum

Ein metrischer Raum ist eine Menge X mit einer Funktion d: X × X → [0, ∞) (Metrik), die für alle x,y,z die Bedingungen erfüllt: d(x,y) ≥ 0 mit Gleichheit genau dann, wenn x = y (Identität der Ununterscheidbaren), d(x,y) = d(y,x) (Symmetrie) und d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) (Dreiecksungleichung).

Eine Menge X zusammen mit einer Distanzfunktion d: X×X → [0,∞), so dass für alle x,y,z in X gilt: d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y (Identität der Ununterscheidbaren), d(x,y)=d(y,x) (Symmetrie) und d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (Dreiecksungleichung).

Eine Menge X zusammen mit einer Abbildung d: X×X → [0,∞) (genannt Metrik oder Abstand), die jedem geordneten Punktpaar eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und folgende Eigenschaften erfüllt: (i) d(x,y)=0 genau dann, wenn x=y (Positivität/Identität der Ununterscheidbaren), (ii) d(x,y)=d(y,x) (Symmetrie), (iii) d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (Dreiecksungleichung).