Hausdorff-Maß

Eine Familie von Außenmaßen auf einem metrischen Raum, parametriert durch eine nichtnegative reelle Zahl s, konstruiert durch Überdeckung der Mengen mit abzählbar vielen Mengen kleiner Durchmesser und der Bildung des Infimums der Summe von Durchmesser^s (Carathéodory‑Konstruktion); für jedes s ergibt sich das s‑dimensionale Hausdorff‑Maß, das Länge, Fläche und Volumen verallgemeinert und fraktale

Für jedes s≥0 ist das Hausdorff-s-Maß ein Außenmaß auf einem metrischen Raum, definiert als der Grenzwert δ→0 des Infimums der Summen ∑ diam(U_i)^s über abzählbare Überdeckungen {U_i} mit diam(U_i)≤δ; es verallgemeinert Länge, Fläche und Volumen und detektiert Größen bei nicht‑ganzzahligen (fraktalen) Dimensionen.

Eine Familie äußerer Maße auf einem metrischen Raum, für jeden Dimensionsparameter d≥0 definiert durch Überdeckungen mit beliebig kleinen Durchmessern und Summation der d-ten Potenzen dieser Durchmesser (ggf. mit Konstante); diese äußeren Maße verallgemeinern Länge, Fläche und Volumen und erfassen fraktale Skalierung.