Ultrafiltre

Un ultrafiltre est un filtre propre maximal sur un ensemble : une collection de sous-ensembles fermée par intersections finies et par passages à des sur-ensembles, ne contenant pas l'ensemble vide, et telle que pour tout sous-ensemble A, soit A soit son complément appartient à l'ultrafiltre.

Filtre propre maximal sur une algèbre de Boole ou sur l'ensemble des parties d'un ensemble : une collection de sous-ensembles fermée par intersection finie et passage aux sur-ensembles, contenant exactement l'une des deux parties d'une partition complémentaire ; les ultrafiltres principaux sont engendrés par un point, les non principaux ne le sont pas.

Un filtre U sur un ensemble X maximal pour l'inclusion : aucun filtre strictement plus grand sur X ne contient U. Équivalemment, pour tout A ⊆ X, soit A ∈ U soit X\A ∈ U, ce qui donne une décision binaire d'appartenance pour chaque sous-ensemble.