Ultrafilter

Ein Ultrafilter ist ein maximaler, eigentlicher Filter auf einer Menge: eine Sammlung von Teilmengen, abgeschlossen unter endlichen Schnitten und Supersets, die die leere Menge nicht enthält, und so beschaffen, dass für jede Teilmenge A entweder A oder ihr Komplement im Ultrafilter liegt.

Ein maximales, echtes Filter auf einer Booleschen Algebra oder der Potenzmenge einer Menge: eine Sammlung von Teilmengen, abgeschlossen unter endlichen Schnitten und Obermengen, die jeweils genau eine Seite eines Komplementärpaares enthält; prinzipielle Ultrafilter konzentrieren sich auf ein einzelnes Element, nicht-prinzipielle tun dies nicht.

Ein Filter U auf einer Menge X, der bezüglich der Inklusion maximal ist: Es gibt keinen strikt größeren Filter auf X, der U enthält. Äquivalent: Für jede Teilmenge A von X gilt entweder A ∈ U oder X\A ∈ U, also eine binäre Entscheidung für jede Teilmenge.