Fredholm‑Alternative

Eine Dichotomie für lineare Gleichungen mit kompakten (oder Fredholm-) Operatoren: Für einen Fredholm‑Operator A und ein Skalar λ ist entweder (I − λA) invertierbar und die inhomogene Gleichung hat für jede rechte Seite eine eindeutige Lösung, oder die homogene Gleichung besitzt nichttriviale Lösungen und die Lösbarkeit der inhomogenen Gleichung erfordert Verträglichkeitsbedingungen (Orthogonalitä

Eine linear-algebraische/Operatorentheoretische Dichotomie für Gleichungen der Form (I − K)x = y mit K kompaktem (oder Fredholm-)Operator: Entweder hat die homogene Gleichung nur die triviale Lösung und die inhomogene Gleichung ist für jedes y lösbar, oder die homogene Gleichung besitzt einen nichttrivialen endlichdimensionalen Lösungsraum und die inhomogene Gleichung ist nur für y lösbar, die zum

Ein Lösbarkeitsprinzip für lineare kompakte oder Fredholm-Operatoren, das besagt: Für Lx = f gilt entweder, dass das homogene Problem Lx = 0 nur die triviale Lösung besitzt und L auf den Zielraum abbildet (also Lx=f für jedes f lösbar ist), oder dass das homogene Problem nichttriviale Lösungen besitzt und Lx=f genau dann lösbar ist, wenn f zu jedem Element des adjungierten homogenen Lösungsraums o